Séminaire AFRIMath de Géométrie et Topologie

Je vais expliquer comment et pourquoi on travaille à obtenir des visualisations d'ensembles limite de certaines représentations de groupes triangulaires dans PU(2,1), le groupe des isométries de l'espace hyperbolique complexe.
Ces ensembles sont de jolies fractales dans la sphère S^3. Discuter des raisons pour lesquels on veut ces visualisations et des méthodes qu'on emploie nous permettra de faire un panorama sélectif des propriétés géométriques et dynamiques des représentations de groupes de surfaces, tout en présentant un exemple de mathématiques "expérimentales"! (travail en commun avec R. Alexandre et O. Rouillé)

Dans cette exposé on montrera que l'espaces projectif réel de dimension n contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d avec un nombre de composantes connexes qui croit comme O(d^n), lorsque d tend vers l'infini. Ceci est l'ordre maximal autorisé par l'inégalité de Smith-Thom.
En fait, on montrera que tous les nombres de Betti de ces hypersurfaces vérifient cette estimée (et pas seulement le nombre de composantes connexes).

La distance introduite par David Hilbert en 1895 sur un ouvert borné convexe de R^n est définie, pour deux points x et y de cet ouvert, comme :
d(x,y)=ln([q,p,x,y]),
où p et q sont les points d'intersection de la droite (x,y) avec la frontière de l'ouvert, tels que les points apparaissent dans l'ordre (p,x,y,q) le long de la droite (voir par exemple un exposé simple avec dessins ici : https://images.math.cnrs.fr/Geometrie-de-Hilbert.html, attention le birapport est noté [p,x,y,q], l'ordre est erroné]).

Si cet ouvert est une boule euclidienne, d (ou plutôt d/2 mais c'est un détail) est la distance hyperbolique (=distance riemannienne à courbure constante -1) introduite par Felix Klein en 1871 sur cette boule : celle dont les géodésiques sont les intersections des droites de R^n avec la boule.

Dans le cas général, on peut donc voir d comme une généralisation/déformation de cette distance hyperbolique, sur les autres ouverts convexes bornés que les boules rondes de R^n. Cette distance n'est alors plus riemannienne mais reste finslérienne.

Mais d'autre part, Klein a aussi introduit, dans le même article et simultanément, sur le plan projectif RP^n, une distance définie semblablement par un logarithme de birapport, et qui se trouve être la distance sphérique (=riemannienne à courbure constante +1) canonique sur RP^n.

J'exposerai que de la même façon, on peut construire une généralisation/déformation de cette  distance sphérique sur l'espace projectif RP^n –mais seulement en restriction à des ouverts bornés de R^n. Cette construction n'utilise que des outils élémentaires même si elle est un peu délicate.
 

Nous présentons les deux versions de KV-cohomologies définies sur les algèbres de Koszul-Vinberg et en donnons quelques applications. Notamment, il est prouvé que les classes de cohomologie d’ordre 2 de la version de KV-cohomologie dite Totale sur une variété localement plate, définissent des feuilletages de cette variété.

Après avoir introduit le cadre de la géométrie sous-riemanienne on discutera des problèmes ouverts fondamentaux du domaine et on présentera quelques résultats récents sur la conjecture dite de Sard et le problème de régularité des courbes minimisantes singulières. 
 

Je présenterai des travaux récents qui mettent en scène des cubiques singulières et les revêtements cycliques ramifiés au-dessus, pour étudier la riche et belle géométrie des droites qu'ils contiennent. 

Les courbes complexes lisses du plan projectif complexe sont les lieux d'annulation de polynômes homogènes complexes génériques. Ces surfaces compactes réelles ont une particularité spectaculaire : non seulement elles sont connexes, mais en plus leur topologie (c'est-à-dire ici leur genre) ne dépend que du degré du polynôme qui les définit. Bien sûr, localement cette propriété magique disparaît complètement. Mais si le polynôme est choisi au hasard et de grand degré, j'expliquerai qu'il existe un écho local de cette uniformité topologique globale. 

In this talk, we study the weak formulation of the Poisson problem on closed Lipschitz manifolds. Lipschitz manifolds do not admit tangent spaces everywhere and the definition of the Laplace-Beltrami operator is more technical than on classical differentiable manifolds (Gesztesy2011). They however arise naturally after the triangulation of a smooth surface for computer vision or simulation purposes. We derive Stokes' and Green's theorems as well as a Poincaré's inequality on Lipschitz manifolds. The existence and uniqueness of weak solutions of the Poisson problem are given in this new framework for both the continuous and discrete problems. As an example of application, numerical results are given for the Poisson problem on the boundary of the unit cube.

For the coding of the script, we use Python language and the open-source Linux based library (SOLVERLAB) which is very practical for the manipulation of large matrices, vectors, meshes and fields. It (SOLVERLAB) can handle finite element and finite volume discretizations, read general 1D, 2D and 3D geometries and meshes generated by SALOME.

Key words :Lipschitz manifold, Laplace-Beltrami operator, Finite element method, Elliptic equation, closed surfaces

(exposé en français, slides in english)

Rationalité des singularités de la plateforme de Gough-Stewart et géométrie des surfaces cubiques

La variété des configurations singulières d'une plateforme de Gough-Stewart est une hypersurface dans le groupe de déplacements de l'espace, de degré 3 par rapport aux variables de translation. Le problème de sa rationalité se ramène donc à celui de la rationalité d'une surface cubique définie sur le corps de fonctions du groupe des rotations de l'espace. Un critère de rationalité sur un corps établi par Swinnerton-Dyer fait intervenir la façon dont les 27 droites sur la surface cubique se scindent sur ce corps. Des calculs sur de nombreux exemples de plateformes donnent un scindage 2-5-10-10, ce qui donne un indice fort en faveur de la rationalité. Cette rationalité est prouvée grâce à une idée venant de la cinématique, à savoir l'utilisation du "torseur réciproque" qui fournit une application birationnelle sur une quadrique dans l'espace projectif des torseurs. Pour une plateforme de Gough-Stewart générale, cette application "torseur réciproque" s'étend en une application régulière sur la clôture projective de la surface cubique et réalise ainsi celle-ci comme l'éclatement d'une quadrique en cinq points. Les diviseurs exceptionnels de cet éclatement ont une interprétation cinématique simple.

Rationality of the singularities of a Gough-Stewart platform and geometry of cubic surfaces

The variety of singular configurations of a Gough-Stewart platform is a hypersurface in the group of rigid motions of the space, of degree 3 w.r.t. the translation variables. Hence, the problem of its rationality reduces to the one of the rationality of a cubic surface over the function field of the group of rotations of the space. A criterion of rationality over a field, established by Swinnerton-Dyer, involves the splitting of the set of 27 lines on the cubic surface over this field. Computations on many examples show a splitting into 2-5-10-10 and strongly hint at rationality. Indeed, the rationality is proved using an idea from kinematics, precisely the "reciprocal twist" which gives a birational mapping to a quadric surface in the projective space of twists.For a general Gough-Stewart platform, this reciprocal twist mapping extends to a regular mapping on the projective closure of the cubic surface, realizing this latter as the blow-up of a quadric surface in five points. The exceptional divisors of this blow-up have a simple kinematic interpretation.

(exposé en français, slides in english)

Géométrie algébrique et singularités des robots parallèles : une introduction

Dans cet exposé on s'intéressera essentiellement à la plateforme de Gough-Stewart, où la plateforme mobile est reliée à la base par six jambes de longueurs variables. Le "modèle géométrique inverse" donne facilement les longueurs de jambes en fonction de la position et de l'orientation de la plateforme ; c'est une application qui va du groupe des déplacements de l'espace dans R^6. Les singularités de cette application structurent le "problème géométrique inverse" qui étudie les configurations possibles du robot pour des longueurs de jambes fixées. On introduira le problème de la rationalité de la variété des configurations singulières du robot, c.-à-d. la possibilité de paramétrer rationnellement ces singularités. Ce problème a une réponse positive assez facile dans le cas particulier où base et plateforme sont toutes deux planes ; reste à étudier le cas général.

Algebraic geometry and singularity of parallel robots : an introduction

In this lecture we shall be mainly interested in the Gough-Stewart platform, in which the mobile platform is linked to the base via six legs with variable lengths. The "inverse geometric model" easily gives the lengths of the legs as a function of the position and the orientation of the platform ; this function maps the group of rigid motions of the space to R^6. Its singularities give the structure of the "direct geometric problem" : what are the possible configurations of the robot gor givern lengths. We shall introduce the question of the rationality of the variety of these singular configurations : is it possible to parametrize them rationally ? This question has a rather easy positive answer in the particula case when the base and the platform are both planar ; the general case needs further study. 

The set of double lines on a cubic threefold is an algebraic curve in the associated Fano surface of
lines. In this talk, we study the particular place of triple lines in the geometry of this curve and see how Eckardt points influence whether a cubic threefold contains triple lines.

Je présenterai un ensemble d'outils de calcul pour l’étude des variétés algébriques et utiliserai comme fil rouge un travail lié à la recherche de structures CR pour des variétés de petite dimension (essentiellement des compléments de noeuds sur S^3).

L'étude de la forme des solutions d'une équation polynomiale sera le fil conducteur de cet exposé.
Ce type d'équations, comme par exemple
(1) $X^5+5X^3 -7X^2 +X +1 = 0$ avec $X$ dans  $\mathbb C$
(2) $X^2 +Y^2 +1 = 0$ avec $(X,Y)$ dans  $\mathbb C^2$
sont les objets de base de la géométrie algébrique. On sait depuis Abel et Galois qu'il est vain d'en espérer une résolution explicite. On peut cependant étudier les solutions d'une telle équation d'un point de vue qualitatif. Par exemple, nous pouvons affirmer sans aucun calcul que l'équation (1) a 5 racines. Lorsque le nombre de variables augmente, la topologie  fournit des outils très efficaces pour décrire la forme des solutions d'une équation polynomiale. Dans le cas de l'équation (2) et toujours sans aucun calcul, on peut ainsi affirmer que les solutions forment un cylindre.
Il est aussi intéressant de regarder les solutions réelles d'équations polynomiales, et j'expliquerai que la topologie est encore très utile pour décrire certaines de leurs propriétés qualitatives. Si le temps le permet, je terminerai avec une connexion surprenante avec un univers à priori lointain, la combinatoire, à travers la géométrie tropicale.

The K3 surfaces occupy an important place in the classification of algebraic surfaces.
In this talk I will present some interplay between them and complex reflection groups :
first of all by using certain subgroups of complex reflection groups one can construct
several families of K3 surfaces. The theory of complex reflection groups helps
in the understanding of the properties of these families avoiding as much as possible
a case-by-case analysis. Secondly complex reflection groups appear also
in the study of the automorphism group of K3 surfaces.
These results come from joint works with C. Bonnafé.

I will discuss recent progress on the appearance of convex bodies for counting problems in real algebraic geometry, explaining a probabilistic approach to real Schubert calculus.

In this paper, we show that the Otto’s metric on a location-scale model defined on a Riemannian manifold is a warped Riemannian metric. This has been done by assuming that the location-scale model is invariant under the action of some Lie group. The obtained result is applied to the von Mises-Fisher model and to the Riemannian Gaussian model.

A square matrix is  called non-derogatory (or cyclic) if its (unitary) characteristic and minimal polynomials coincide. A non-derogatory matrix gives rise to a $2$-step solvable Lie algebra endowed with an exact
symplectic structure (hence a family of locally isomorphic $2$-step solvable Lie groups possessing left invariant exact symplectic structures). We classify such Lie groups via their Lie algebras.

Le but de l'exposé sera de rendre compréhensible le résumé suivant.
La géométrie tropicale s'est avérée être un outil très utile dans
l'énumération des courbes algébriques réelles et complexes. Il y a une
dizaine d'années, Block et Göttche ont exhibé une version quantifiée des
invariants énumératifs tropicaux. Ces invariants tropicaux raffinés sont
des polynômes de Laurent interpolant entre les invariants complexes
(Gromov-Witten) et réels (Welschinger) en géométrie algébrique. Je
rappellerai la définition des ces invariants tropicaux raffinés et leur
liens avec la géométrie énumérative classique. J'expliquerai ensuite que
les coefficients de ces invariants raffinés possèdent de curieuses
propriétés de polynomialité, résurgence surprenante de la conjecture de
Göttsche dans un contexte dual.

ENGLISH VERSION:

Polynomial properties of tropical refined invariants

The goal of this talk is to make sense of the following abstract.
Tropical geometry is a useful tool in the enumeration of complex or real
algebraic curves. Around 10 years ago Block and Göttsche proposed a kind
of quantification of tropical enumerative invariants, which are Laurent
polynomial interpolating between complex and real enumerative
invariants. In this talk I will review these tropical refined invariants
and their relation with classical enumerative geometry. I will then
explain some curious polynomial behavior of the coefficients of these
refined invariants, providing in particular a surprising resurgence, in
a dual setting, of the so-called node polynomials and Göttsche conjecture.

(Cet exposé est basé sur un travail en commun avec A. Masquelein et A. Quéguiner-Mathieu)

Dans cette deuxième partie, nous présenterons quelques invariants cohomologiques classiques pour les formes quadratiques et expliquerons pourquoi l’invariant d’Arason absolu (l’invariant de degré 3) ne s’étend pas aux algèbres à involution. Comme pour les involutions orthogonales, en utilisant l’invariant de Rost pour certains torseurs, nous définissons un invariant d’Arason relatif pour les involutions unitaires. La fin de l’exposé sera consacrée aux propriétés de cet invariant relatif pour les algèbres de degré 4 et 8.

In this second part, we present some classical cohomological invariants for quadratic forms and explain why the absolute Arason invariant does not extend to algebras with involution. As for orthogonal involutions, using the Rost invariant for some torsors, we define a relative Arason invariant for unitary involutions. The end of the talk will be devoted to the properties of this relative invariant for algebras of degree 4 and 8.

Le but de cet exposé est de présenter les objets algébriques qui interviennent dans nos travaux. En particulier, nous introduirons la notion de groupe algébrique, à l’aide d’exemples classiques, construits à partir de formes quadratiques et d’algèbres à involution. Ce point de vue permet de voir la théorie des formes quadratiques comme une source d’inspiration importante pour l’étude des algèbres à involution.

In this talk, we will introduce the main characters of our work. In particular, we will define the notion of algebraic groups, starting from classical examples related to quadratic forms and algebras with involution. From this point of view, the algebraic theory of quadratic forms appears as an important inspiration for the study of algebras with involution.

We introduce a concept of convolution metric in Finslerian Geometry.
This convolution metric is a kind of function obtained by a given mathematical operation
between two Finslerian metrics. Then, we study some basic properties of the Finslerian convolution
metrics. Hence, we characterize Finslerian convolution metrics which are of type
Riemannian, Minkowskian as well as Randers. Furthermore, we give some examples of the Finslerian convolutions.

Accès :

http://who.rocq.inria.fr/Fabrice.Rouillier/visio/Afrimath

Résumé en pièce jointe.

Accès :

http://who.rocq.inria.fr/Fabrice.Rouillier/visio/Afrimath

https://www.youtube.com/watch?v=z1krNwZ5BE4

https://www.youtube.com/watch?v=nd4zZu1-a2s

https://www.youtube.com/watch?v=GE4n1YBGtNk

I shall present some classical ideas to solve this basic problem of real algebraic geometry and discuss recent complexity reults and their mathematical background obtained with Daouda Niang Diatta, Sény Diatta, Fabrice Rouillier and Michael Sagraloff. Except Michael, all authors are members of AFRIMath, in Sénégal or in France.

https://www.youtube.com/watch?v=-IRfVRgXiJM