La distance introduite par David Hilbert en 1895 sur un ouvert borné convexe de R^n est définie, pour deux points x et y de cet ouvert, comme :
d(x,y)=ln([q,p,x,y]),
où p et q sont les points d'intersection de la droite (x,y) avec la frontière de l'ouvert, tels que les points apparaissent dans l'ordre (p,x,y,q) le long de la droite (voir par exemple un exposé simple avec dessins ici : https://images.math.cnrs.fr/Geometrie-de-Hilbert.html, attention le birapport est noté [p,x,y,q], l'ordre est erroné]).

Si cet ouvert est une boule euclidienne, d (ou plutôt d/2 mais c'est un détail) est la distance hyperbolique (=distance riemannienne à courbure constante -1) introduite par Felix Klein en 1871 sur cette boule : celle dont les géodésiques sont les intersections des droites de R^n avec la boule.

Dans le cas général, on peut donc voir d comme une généralisation/déformation de cette distance hyperbolique, sur les autres ouverts convexes bornés que les boules rondes de R^n. Cette distance n'est alors plus riemannienne mais reste finslérienne.

Mais d'autre part, Klein a aussi introduit, dans le même article et simultanément, sur le plan projectif RP^n, une distance définie semblablement par un logarithme de birapport, et qui se trouve être la distance sphérique (=riemannienne à courbure constante +1) canonique sur RP^n.

J'exposerai que de la même façon, on peut construire une généralisation/déformation de cette  distance sphérique sur l'espace projectif RP^n –mais seulement en restriction à des ouverts bornés de R^n. Cette construction n'utilise que des outils élémentaires même si elle est un peu délicate.