L'étude de la forme des solutions d'une équation polynomiale sera le fil conducteur de cet exposé.
Ce type d'équations, comme par exemple
(1) $X^5+5X^3 -7X^2 +X +1 = 0$ avec $X$ dans  $\mathbb C$
(2) $X^2 +Y^2 +1 = 0$ avec $(X,Y)$ dans  $\mathbb C^2$
sont les objets de base de la géométrie algébrique. On sait depuis Abel et Galois qu'il est vain d'en espérer une résolution explicite. On peut cependant étudier les solutions d'une telle équation d'un point de vue qualitatif. Par exemple, nous pouvons affirmer sans aucun calcul que l'équation (1) a 5 racines. Lorsque le nombre de variables augmente, la topologie  fournit des outils très efficaces pour décrire la forme des solutions d'une équation polynomiale. Dans le cas de l'équation (2) et toujours sans aucun calcul, on peut ainsi affirmer que les solutions forment un cylindre.
Il est aussi intéressant de regarder les solutions réelles d'équations polynomiales, et j'expliquerai que la topologie est encore très utile pour décrire certaines de leurs propriétés qualitatives. Si le temps le permet, je terminerai avec une connexion surprenante avec un univers à priori lointain, la combinatoire, à travers la géométrie tropicale.