(exposé en français, slides in english)
Rationalité des singularités de la plateforme de Gough-Stewart et géométrie des surfaces cubiques
La variété des configurations singulières d'une plateforme de Gough-Stewart est une hypersurface dans le groupe de déplacements de l'espace, de degré 3 par rapport aux variables de translation. Le problème de sa rationalité se ramène donc à celui de la rationalité d'une surface cubique définie sur le corps de fonctions du groupe des rotations de l'espace. Un critère de rationalité sur un corps établi par Swinnerton-Dyer fait intervenir la façon dont les 27 droites sur la surface cubique se scindent sur ce corps. Des calculs sur de nombreux exemples de plateformes donnent un scindage 2-5-10-10, ce qui donne un indice fort en faveur de la rationalité. Cette rationalité est prouvée grâce à une idée venant de la cinématique, à savoir l'utilisation du "torseur réciproque" qui fournit une application birationnelle sur une quadrique dans l'espace projectif des torseurs. Pour une plateforme de Gough-Stewart générale, cette application "torseur réciproque" s'étend en une application régulière sur la clôture projective de la surface cubique et réalise ainsi celle-ci comme l'éclatement d'une quadrique en cinq points. Les diviseurs exceptionnels de cet éclatement ont une interprétation cinématique simple.
Rationality of the singularities of a Gough-Stewart platform and geometry of cubic surfaces
The variety of singular configurations of a Gough-Stewart platform is a hypersurface in the group of rigid motions of the space, of degree 3 w.r.t. the translation variables. Hence, the problem of its rationality reduces to the one of the rationality of a cubic surface over the function field of the group of rotations of the space. A criterion of rationality over a field, established by Swinnerton-Dyer, involves the splitting of the set of 27 lines on the cubic surface over this field. Computations on many examples show a splitting into 2-5-10-10 and strongly hint at rationality. Indeed, the rationality is proved using an idea from kinematics, precisely the "reciprocal twist" which gives a birational mapping to a quadric surface in the projective space of twists.For a general Gough-Stewart platform, this reciprocal twist mapping extends to a regular mapping on the projective closure of the cubic surface, realizing this latter as the blow-up of a quadric surface in five points. The exceptional divisors of this blow-up have a simple kinematic interpretation.