Séminaire AFRIMath de Théorie des Nombres et Théorie de l’Information

Un assistant de preuve est un logiciel capable de lire une preuve mathématique, codée sous la forme d'une chaîne d'implications logiques. Si la chaîne est cohérente, le logiciel est satisfait et il certifie l'exactitude de la démonstration; s'il n'est pas satisfait à une certaine maille de la chaîne, il nous empêche d'avancer jusqu'à quand on arrive à le convaincre. Dans cette exposé je montrerai quelques exemples d'un tel dialogue avec un assistant de preuves (en utilisant le logiciel Lean) et je parlerai d'un travail commun avec A. Baanen, S. Daamen et Ashvni N., où on a formalisé une preuve de la finitude du groupe de classes d'idéaux en Lean.

Rank-metric codes are codes whose each codeword is a matrix and the distance between two codewords is the rank of their difference.They were introduced in 1978 by Philippe Delsarte. In 1985, Ernst M. Gabidulin proposed a decoding algorithm for a family of maximum rank distance codes. Rank-metric codes over finite fields are used in space-time coding, public-key cryptosystems, and random linear network coding. But, in 2011, Feng et al. gave some advantages of using finite chain rings in network coding. So, in 2019, Kamche and Mouaha generalized to finite commutative principal ideal rings some classical results of rank- metric codes. In this talk, we will give some advantages of rank-metric codes over finite rings in network coding and cryptography.

We analyze complex multiplication for Jacobians of curves of genus 3, as well as the resulting Shimura class groups and their subgroups corresponding to Galois conjugation over the reflex field. We combine our results with numerical methods to find CM fields for which there exist both hyperelliptic and non-hyperelliptic curves whose Jacobian have maximal complex multiplication. More precisely, we find all sextic CM fields  in the LMFDB data base for which (heuristically) Jacobians of both types exist. There turn out to be 14 such fields among the 547,156 sextic CM fields that the LMFDB contains. This supports the conjecture that the list of CM fields of this kind is finite. We show some cryptographic applications on the hardness of the discrete logarithm problem for genus 3 hyperelliptic curves. This is joint work with Bogdan Dina and Jeroen Sijsling.

When L/K is a Galois extension of number fields with Galois group G, some invariants of L  can be related to those of its proper subfields. I will present some old and some new such relations, and an application to the computation of class groups of some large number fields. This is joint work with Jean-François Biasse, Claus Fieker and Tommy Hofmann.

Lorsque L/F est une extension galoisienne de corps de nombres de groupe de Galois G, certains invariants de L peuvent être reliés à ceux de ses sous-corps propres. Je présenterai des relations de ce type, certaines anciennes et certaines nouvelles, et une application au calcul de groupes de classes de grands corps de nombres. Ce travail est une collaboration avec Jean-François Biasse, Claus Fieker et Tommy Hofmann.

Dans cet exposé on expliquera le lien entre l'algorithme classique de fractions continues et les rotations du cercle. On s'intéressera dans la suite à une généralisation en dimension deux via l'algorithme de Cassaigne.

Du point de vue des distributions, comprendre les nombres premiers consiste à savoir estimer les sommes de la forme $\sum_{p\le x}f(p)$ où la somme porte sur des nombres premiers $p$ et où $f$ est une fonction à choisir. I.M. Vinogradov a introduit en 1937 une technique utilisant des sommes 'billinéaires', laquelle a ensuite connue bien des modifications et améliorations. Nous raconterons l'histoire de cette technologie, du début du vingtième siècle jusqu'à nos jours.

A singular modulus is the j-invariant of an elliptic curve with complex multiplication. Given a singular modulus x we denote by \Delta_x the discriminant of the associated imaginary quadratic order. We denote by h(\Delta) the class number of the imaginary quadratic order of discriminant \Delta. Recall that two singular moduli x and y are conjugate over Q if and only if \Delta_x = \Delta_y , and that all singular moduli of a given discriminant \Delta form a full Galois orbit over Q. In particular, [Q(x) : Q] = h(\Delta x). Here, we show that the field Q(x, y), generated by two singular moduli x and y, is generated by their sum x + y, unless x and y are conjugate over Q, in which case x + y generates a subfield of degree at most 2. We obtain a similar result for the product of two singular moduli. Futhermore, we fix a rational number \alpha \neq 0, \pm 1 and show that the field Q(x, y) is generated by x + \alpha y, with a few exceptions occurring when x and y generate the same quadratic field over Q. These are the results from my collaborations with Antonin Riffault, Yuri Bilu and Huilin Zhu.

Given an elliptic curve E in Weierstrass form and one finite subgroup G, the traditional Velu's formulas enable to compute an isogeny from E with kernel G. Other models for elliptic curves exist and although almost isomorphic to the Weierstrass model, the use of these isomorphisms to obtain isogenies over these models yields very complex and costly formulas. In this talk, we present fast formulas for computing isogenies over Hessian Elliptic curves.

Un résultat classique de géométrie assure que les isomorphismes entre courbes algébriques de petit genre (elliptiques, hyperelliptiques ou quartiques) sont simplement donnés par des changements de variable linéaires. En reconsidérant ces isomorphismes sous l'angle d'un groupe linéaire agissant sur les coefficients des équations des courbes, il est souvent possible de déterminer des invariants, et aussi les orbites de courbes, sous cette action. De multiples applications découlent de ce point de vue: vérifier efficacement si deux courbes sont isomorphes, déterminer les automorphismes d'une courbe, déterminer le corps de définition d'une courbe, obtenir des informations sur les espaces de modules, construire des courbes avec des propriétés particulières, etc.

Dans cet exposé, nous présentons quelques contributions à cette démarche. Nos préoccupations étant souvent effectives, nous cherchons en particulier à illustrer comment la théorie des invariants peut permettre de s'attaquer à des problèmes qui semblent difficiles à résoudre par une approche calculatoire plus directe.
 

We describe an algorithm for computing the Galois automorphisms of a nilpotent Galois extension of the rationals which run in polynomial time under the GRH.  This is much faster in practice than algorithms based on lattice reduction.

Dans cet exposé, nous parlerons du cryptosystème GPT et de sa sécurité. GPT est un système de chiffrement asymétrique basé sur les codes correcteurs d'erreurs. Après une brève description du GPT, nous allons présenter un algorithme récent pour l'attaquer. Nous montrons qu'en manipulant de façon astucieuse la clé publique, l'on obtient un code auquel on peut appliquer l'opérateur de Frobenius pour obtenir une certaine clé secrète en temps polynomial.

Soit C: F(x,y,z)=0 une quartique plane avec coefficients entiers. Si un premier p ne divise pas le discriminant de F alors C a bonne réduction en p. Mais si p divise le discriminant, que peut-on peut dire ?  La courbe C a-t-elle encore potentiellement bonne réduction en tant que quartique plane ? A-t-elle mauvaise réduction en tant que quartique plane, mais en fait potentiellement bonne réduction hyperelliptique ? Ou a elle vraiment mauvais réduction ? et dans ce cas, de quelle type ? Dans cet exposé je répondrai à ces questions et je montrerai plusieurs exemples et façons de caractériser les différents types de réduction.