Un résultat classique de géométrie assure que les isomorphismes entre courbes algébriques de petit genre (elliptiques, hyperelliptiques ou quartiques) sont simplement donnés par des changements de variable linéaires. En reconsidérant ces isomorphismes sous l'angle d'un groupe linéaire agissant sur les coefficients des équations des courbes, il est souvent possible de déterminer des invariants, et aussi les orbites de courbes, sous cette action. De multiples applications découlent de ce point de vue: vérifier efficacement si deux courbes sont isomorphes, déterminer les automorphismes d'une courbe, déterminer le corps de définition d'une courbe, obtenir des informations sur les espaces de modules, construire des courbes avec des propriétés particulières, etc.

Dans cet exposé, nous présentons quelques contributions à cette démarche. Nos préoccupations étant souvent effectives, nous cherchons en particulier à illustrer comment la théorie des invariants peut permettre de s'attaquer à des problèmes qui semblent difficiles à résoudre par une approche calculatoire plus directe.