Séminaire AFRIMath d'Analyse des EDP et d'Analyse Numérique

Let G be a locally compact group, K a compact subgroup of G and \delta an arbitrary class of irreducible unitary representations of K.

If U is a topological completely irreducible representation of G on a Banach space E such that \delta is contained in the restriction of U to K, then there exists a spherical function \phi ^U of type \delta which is not trivial.

The height of \phi is the multiplicity p of \delta in the restriction to K of the representation U_{\phi } associated to \phi.

The p-\delta-spherical Grassmannian G_{p,\delta } is an equivalence class of spherical functions of type \delta-positive of height p.

In this talk, we'll construct some elements of G_{p,\delta } on a locally compact group, on a connected Lie group and on a reductive Lie group using a generalized Abel transform.

And, if the discret series of G is not empty, we'll give a extension of Paley Wiener theorem using a compact Cartan subgroup of G.

L'exposé sera à 10h utc (11h Paris) via zoom :

https://univ-nantes-fr.zoom.us/j/93782512911?pwd=ek5kUVNad3dIMHd6OWp0ZTZmQzZjUT09

ID de réunion : 937 8251 2911
Code secret : 540877

Dans de nombreux domaines des sciences appliquées, on cherche à déterminer une fonction $f$ à partir de son seul module $|f|$ et d'un a priori sur $f$. On trouve ces problèmes en cristallographie, mécanique quantique, traitement du signal,... Ces problèmes connaissent actuellement une forte activité scientifique. Les outils utilisés pour aborder ces problèmes sont très variés, allant de l'analyse numérique à la géométrie algébrique en passant par l'optimisation convexe, l'analyse harmonique et l'analyse complexe.

Un exemple typique est le suivant, on suppose que $f\in L^2(R)$ est une fonction dont la transformée de Fourier $\hat f$ est à support compact. Ainsi $f$ est une fonction holomorphe, à croissance modérée. Une telle fonction est soumise à de nombreuses rigidités et on peut se demander dans quelle mesure $|f|$ détermine $f$. Une fois cette question résolue, de nombreuses nouvelles questions se posent. Par exemple, le nombre de solutions est encore trop important et on peut alors demander si des conditions supplémentaires permettent d'obtenir unicité. Par exemple, le problème de Pauli en mécanique quantique consiste à déterminer $f$ à partir de $|f|$ et $|\hat f|$.

Un second exemple consiste à déterminer un vecteur $x\in\C^N$ à partir de modules de produit scalaires $|<x,e_n>|$ où $(e_n)$ est un système de vecteur. Celui-ci est soit fixé par un problème physique, soit à trouver.

Nous allons ici donner un survol de quelques-unes des questions qui se posent dans ce domaine.

L'exposé aura lieu via zoom de 10h à 11h UTC (soit de 11h à 12h horaire de Paris)

We construct galaxies of sequences of positive integers which are solutions of the equation x^2 + y^2 = z^2. We introduce examples of galaxies. The characterization of these solutions allows us to show that the equation x^n + y^n = z^n has no integer solutions for n>2. We introduce the representation of a galaxy of sequences of positive integers. This representation allows us to predict the structure, laws of the universe and life in every planet system of every galaxy of the universe.

La prise en compte de la force de Coriolis liée à la rotation de la Terre dans les équations de Saint-Venant permet de modéliser la dynamique de fluides à grande échelle. Dans ce contexte, plusieurs travaux ont proposé des schémas numériques capables de préserver les états d'équilibre au repos. Le but de ce travail est de construire un schéma numérique capable de préserver tous les états d'équilibre. On commencera par rappeler le principe des schémas de type Godunov qui sera le cadre de notre schéma. On montrera ensuite comment construire un solveur de Riemann approché permettant d'obtenir un schéma numérique qui préserve à la fois tous les états d'équilibre et la positivité de la hauteur du fluide. Une extension à l'ordre 2 qui préserve ces propriétés sera également proposée. Elle repose sur une adaptation de la méthode classique MUSCL. Enfin, plusieurs simulations numériques viendront illustrer la pertinence des schémas ordre 1 et ordre 2.
 

Le but de ce travail est de construire une nouvelle classe de schémas de type Godunov préservant toutes les solutions stationnaires du système
de Saint Venant avec terme source de topographie. Dans un premier temps, nous rappelons la construction d’un schéma de type Godunov pour
un système hyperbolique avec un terme source sous forme générique. Ensuite, nous dérivons deux schémas de type Godunov. Le premier schéma
préserve la positivité de la hauteur d'eau, capture toutes les solutions stationnaires et traite les transitions entre zones mouillées et zones sèches.
Cependant, ce schéma capture également des chocs stationnaires non entropiques. Le deuxième schéma développé permet de corriger
le défaut d'entropie. Ce schéma préserve la positivité de la hauteur d'eau et capture  toutes les solutions stationnaires sans transition de
régime entre écoulement fluvial et écoulement torrentiel. De plus, ce second schéma ne capture pas les chocs stationnaires non entropiques.
Des simulations numériques ont été  réalisées afin d'illustrer la pertinence de ces deux schémas.
 

Multiphase flow studies have a wide range of applications, especially in the nuclear framework, and homogeneous models have been recently considered for that purpose, see for example [2], [4] and references therein.

Here we consider the Homogeneous Relaxation Model (HRM) presented in [3], where all phases share the same velocity and the fluid is out of equilibrium. This model is based on compressible Euler equations on which advection equations on fractions Y are added with source terms.

Firstly, the convective part has already been studied in [3], and has the Euler system structure. We can demonstrate that the system admits a Lax entropy and is hyberbolic.

Secondly, source terms have to be chosen according to the entropy growth. Two types are considered and compared : the classical form |Y − Yeq|, where Yeq stands for the equilibrium fractions, and a second one ∇Y σ presented in [3], with σ the mixture intensive entropy.
The first one has some advantages : exact solving, simple ODE trajectories. However, finding the equilibrium fractions can be really difficult depending of the EOS, and fraction relaxation times are all the same. The second one allows us to use different time scales, and does not need to compute the equilibrium. On the other side, ODE analysis is difficult and its trajectories are much more complex.

For the numerical applications, we mainly use a stiffened gas Equation Of State (EOS), which repre- sents a good compromise between realistic modelisation and complexity. Following [4], we also consider the NASG-CK law for the liquid in some parts of our work.

Using a fractionnal-step method, we first solve the convective part with Finite Volumes methods (VFRoe-ncv and relaxation schemes), whereas source terms contribution is taken into account solving an ODE.

The first type of source term can be used computing the equilibrium with a non-linear solver, for example a Broyden algorithm, see [4]. Another solution, in the case of three stiffened gas, is to show that the mixture pressure follows a stiffened gas EOS itself, see [1] and the second appendix of [4]. The second type of source term requires an implicit ODE solver and a non-linear solver. Coupling Euler’s method with a Broyden algorithm allows us to solve the ODE.

[1]  P. Helluy, O. Hurisse, L. Quibel. Simulation of a liquid-vapour compressible flow by a lattice boltzmann method. In International Conference on Finite Volumes for Complex Applications, pp. 665–673. Springer, 2020.

[2]  O. Hurisse. Application of an homogeneous model to simulate the heating of two-phase flows. International Journal on Finite Volumes, 11, http–www, 2014.

[3]  H. Mathis. A thermodynamically consistent model of a liquid-vapor fluid with a gas. ESAIM : Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 53(1), 63–84, 2019.

[4]  L. Quibel. Simulation of water-vapor two-phase flows with non-condensable gas. Ph.D. thesis, Université de Strasbourg, 2020.


 

We characterize the multipliers from the little BMO of Cotlar-Sadorsky to the product BMO of Chang-Fefferman in the polydisk.

Cet exposé est dédié à l'approximation du système d'Euler bitempérature en deux dimensions d'espace. Ce modèle est un système hyperbolique non conservatif décrivant un plasma hors équilibre situé en régime quasi-neutre. La non-conservativité est due à des produits vitesse-gradients de pression et à des termes sources. Le système ne peut s'écrire sous forme divergentielle. On développe alors un schéma numérique d'ordre 2 en utilisant un modèle de type BGK discret. L'extension à l'ordre 2 est basée sur des subdivisions de cellules  pour réaliser une reconstruction affine de la solution. De telles idées ont été développées auparavant dans la littérature des systèmes de loi de conservation. Nous montrons alors comment les étendre à un cadre non conservatif. La méthode est ensuite implémentée et testée.
 

Dans ce projet, on considère l’opérateur Schrödinger magnétique semi-classique en dimensions 2, dans le cas où le champ magnétique s’annule le long d’une courbe fermée lisse. En supposant que cette courbe possède un axe de symétrie, on prouve que l’effet tunnel se produit. Le résultat principal est de trouver une approximation explicite de la différence entre les deux premières valeurs propres. Cette différence permet de caractériser la période de l’effet tunnel.