Il est parfois utile de raffiner la notion de cardinal d’un ensemble lorsque ce dernier possède une structure supplémentaire. Par exemple, les $d$ racines d’un polynôme complexe de degré $d$ viennent avec une action de la conjugaison complexe. Plus généralement, l’ensemble des $d$ racines, sur une clôture algébrique, d’un polynôme sur un corps $k$ de degré $d$ n’est pas seulement un ensemble de $d$ point, mais un ensemble de $d$ point muni d’une action du groupe de Galois absolu de $k$. On peut alors raffiner la notion de cardinal d’un tel ensemble en utilisant la théorie de Galois. Le résultat n’est plus un nombre entier, mais une forme quadratique dont le rang retrouve le cardinal de l’ensemble en question.
Le début de l’exposé sera consacré à exposer cette stratégie, qui remonte au moins aux travaux de Hermite dans les années 1850. Je rappellerai en particulier les notions nécessaires de théorie de Galois. J’illustrerai ensuite, à travers l’énumération de courbes rationnelles dans le plan, comment ce dénombrement quadratique a récemment trouvé une incarnation géométrique spectaculaire grâce à la théorie $\mathbb A^1$-homotopique.